Electrónica

📖 Guía de estudio de la casa

La electrónica: electricidad que piensa

Si la electricidad se ocupa de la energía —mover motores, encender luces, calentar—, la electrónica se ocupa de la información: usa corrientes pequeñas y delicadas para detectar, amplificar, calcular y decidir. Dentro de cada radio, televisor, teléfono y computador hay circuitos electrónicos que trabajan con señales, no con potencia. Este texto propio de la casa presenta la materia: sus componentes esenciales y el mapa del camino para aprenderla.

Los componentes que lo forman todo

El punto de partida es la resistencia, que limita y reparte la corriente, y el condensador (o capacitor), que almacena carga y la devuelve, útil para filtrar y temporizar. Las bobinas guardan energía en forma de campo magnético. Pero el corazón de la electrónica moderna es el semiconductor: materiales como el silicio, cuya conductividad se puede gobernar. De ellos nacen el diodo, que deja pasar la corriente en un solo sentido —y en su versión LED, la convierte en luz—, y el transistor, la pieza clave del siglo XX: un interruptor y amplificador sin partes móviles, tan pequeño que un chip actual reúne miles de millones de ellos. Con transistores se construyen las compuertas lógicas que suman, comparan y recuerdan: la base de toda la computación.

Analógico y digital

La electrónica clásica es analógica: trabaja con señales continuas, como la voz en un micrófono o la onda de una radio, y sus tareas típicas son amplificar, filtrar y oscilar. La electrónica digital, en cambio, reduce todo a dos estados —hay corriente o no la hay, 1 o 0— y con ese alfabeto mínimo construye calculadoras, relojes, controles y computadores enteros. Entre ambos mundos median los conversores, que traducen las señales del mundo real (temperatura, sonido, luz, captadas por sensores) al lenguaje digital y de vuelta. El temario abierto que esta ficha acompaña sigue ese mismo recorrido: parte del temario de un curso universitario de electrónica, con sus fundamentos teóricos y sus aplicaciones, y avanza capítulo a capítulo desde los componentes hasta los sistemas.

Cómo se aprende

La electrónica es una materia de banco de trabajo: se entiende de verdad montando circuitos y midiendo. El camino habitual combina tres patas: la teoría (leyes de los circuitos, que son las mismas de la electricidad básica, con la ley de Ohm a la cabeza), la simulación o el cálculo en papel, y la práctica con instrumentos como el multímetro y, más adelante, el osciloscopio, que permite «ver» las señales. La recomendación de la casa: no saltarse los fundamentos por correr a los proyectos; cada circuito que no funciona enseña exactamente la lección que faltaba.

Para quién es

Para estudiantes de ingeniería y de formación técnica, para técnicos de reparación, radioaficionados y makers, y para cualquier persona que quiera saber qué hay realmente dentro de los aparatos que usa a diario y, con el tiempo, ser capaz de armar los suyos.

Guía de estudio original de Lobo Audio.

📚 Texto completo en la casa

Este es el texto íntegro del libro, capítulo a capítulo, para leerlo aquí sin salir de la página.

Partículas subatómicas

El electrón (Del griego elektron, ámbar), comunmente representado como e− es una partícula subatómica. En un átomo los electrones rodean el núcleo.

Los electrones son más pequeños que los protones, pero tienen la misma carga eléctrica (en magnitud) que el protón.

El electrón tiene una carga eléctrica negativa de −1.6 × 10−19 culombios y una masa de 9.10 × 10−31 kg (0.51 MeV/c2), que es aproximadamente 1800 veces menor que la masa del protón.

La carga eléctrica negativa de los electrónes es atraida por la carga eléctrica positiva de los protones. Las cargas de igual signo se repelen. Mediante la atracción y o repulsión las partículas subatómicas cargadas, estas son obligadas a moverse. Los electrones son los que se desplazan más facilmente por su masa menor, comparable a la de un núcleo de un átomo.

Aunque la mayoría de los electrones se encuentran formando parte de los átomos, hay materiales donde algunos se desplazan indepentiendemente (materiales conductores). Si las condiciones lo permiten, pueden escapar del átomo y formar un haz de electrones en gases o en el vacío. En algunos superconductores los electrones se mueven en pareja.

Cuando los electrones se desplazan en una dirección o dado un movimiento neto de ellos, se produce un flujo que se llama corriente eléctrica.

La electricidad estática no es un flujo de electrones. Es más correcto definirla como "carga estática", y está causada por un cuerpo cuyos átomos tienen más o menos electrones de los necesarios para equilibrar las cargas positivas de los núcleos de sus átomos. Cuando hay un exceso de electrones, se dice que el cuerpo está cargado negativamente. Cuando hay menos electrones que protones el cuerpo está cargado positivamente. Si el número total de protones y electrones es equivalente, el cuerpo está en un estado eléctricamente neutro. El electron esta ubicado en la corteza del atomo (orbita).

Su carga eléctrica es de una unidad positiva (inversa a la del electrón). Forma junto con el neutrón los núcleos atómicos de la materia conocida.

Su masa es de, m_p = 938.27200 ± 0.00004 MeV/c², que equivale a 1.6726231 * 10^-27 kg. Es por tanto unas 1800 veces más pesado que el electrón.

Forma, junto con los protones los núcleos atómicos. Fuera del núcleo atómico es inestable y tiene una vida media de unos 15 minutos emitiendo un electrón y un antineutrino para convertirse en un protón. Su masa es muy similar a la del protón.

Carga eléctrica

La carga eléctrica es una propiedad física intrínseca de algunas particulas, que las caracteriza y por la cual sufren la interacción electromagnética. En el Sistema Internacional de Unidades se mide en culombios y en las fórmulas físicas suele representarse con la letras q o Q.

Se clasifica en carga positiva y negativa. Las cargas del mismo signo se repelen mientras que las de signo contrario se atraen.

La carga eléctrica aparece en la naturaleza cuantizada, es decir, siempre es múltiplo de una cantidad fundamental: el valor absoluto de la carga del electrón o del protón:

q = 1.6 10^-19 culombios.

Hay que señalar que se cree que la carga de los quarks, partículas que componen los núcleos atómicos, toma valores fraccionarios de esta cantidad fundamental. Sin embargo, nunca se han observado quarks libres. Para objetos no puntuales, la carga eléctrica es la suma de las cargas eléctricas de las partículas constituyentes.

La carga eléctrica se conserva: en ningún proceso puede crearse o destruirse carga neta. Pueden aparecer cargas eléctricas donde antes no había, pero siempre lo harán de modo que la carga total del sistema permanezca constante. Además esta conservación es local, ocurre en cualquier región del espacio por pequeña que sea.

La carga es un invariante relativista. La carga de un cuerpo es la misma independientemente de la velocidad con la que se mueva.

• La carga eléctrica no se crea ni se destruye, sólo se transforma (conservación de la energía).

• La carga eléctrica siempre está cuantizada. Se representa en cantidades enteras de la unidad fundamental.

• Cargas de signos iguales se repelen.

• Cargas de signos contrarios se atraen.

Campo eléctrico

Según la ley de Coulomb, entre dos partículas cargadas del mismo signo aparece una fuerza proporcional al producto de ambas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia: F→=kq1q2d2 r→ donde r→ es un vector unitario que da la dirección de la fuerza. Para poder explicar cómo dos partículas separadas podían interactuar se introdujo el concepto de campo: una región del espacio en donde hay una perturbación de naturaleza eléctrica, es decir que las cargas son afectadas solamente (salvo la que genera el campo). Para describirlo, imaginemos una partícula exploradora suficientemente pequeña como para despreciar su efecto en el campo. De este modo al colocarla en algún punto del espacio sufrirá una fuerza según lo predice Coulomb. El campo E→ entonces tendrá una dirección y sentido igual a la de la fuerza aparecida y su magnitud igual a la razón entre la fuerza y la carga: E→=F→q.

Ley de Coulomb

Dadas dos cargas puntuales q1 y q2 que se encuentran a una distancia r de separación en el vacío. Si q1 y q2 tienen signos iguales, entonces se repelen entre sí, pero si tienen signos opuestos se atraen una a la otra. La magnitud de la fuerza de repulsión/atracción (en cada caso) está dada por:

F=kq1q2r2

Donde k es la constante de Coulomb y suele escribirse explícitamente mediante (4πϵ0)−1, donde ϵ0 es la llamada permitividad del vacío. De modo que la fórmula queda de la siguiente manera:

F=q1q24πϵ0r2

La Ley de Coulomb se expresa mejor con magnitudes vectoriales:

𝐅=q1q24πϵ0r2𝐮r

donde 𝐮r es un vector unitario que indica la dirección entre las cargas.

Cuando el medio que rodea a las cargas no es el vacío hay que tener en cuenta la constante dieléctrica y la permitividad del material que para el aire por ejemplo la constante tiene un valor de 1.0006.

• Se ha hablado mucho en cuanto a cuerpos cargados y el efecto que tienen unos sobre otros. Aunque se ha establecido que cargas iguales se repelen y cargas desiguales se atraen, no se ha dicho nada en cuanto a la magnitud de esta fuerza electrostática .

• Alrededor del 1780, Charles Coulomb descubrió la relación entre cargas y distancia de una fuerza electrostática. Su descubrimiento fue lo que más tarde se conoció por la ley de Coulomb número 2.

• LEY NUMERO 2. La fuerza entre dos cargas es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

• F= Q1*Q2
• -----
• K*d2

• siendo: F = Fuerza en dinas.
• Q1 = Fuerza de la carga 1, en unidades electrostáticas (u.e.s.).
• Q2 = Fuerza de la carga 2, en unidades electrostáticas (u.e.s.).
• d = Distancia entre cargas en centímetros.
• K = Constante del dieléctrico del medio a través del cual se ejerce la fuerza.

Diferencia de potencial

La diferencia de potencial entre dos puntos (1 y 2) de un campo eléctrico es igual al trabajo que realiza dicho campo sobre la unidad de carga positiva para transportarla desde el punto 1 al punto 2.

Es independiente del camino recorrido por la carga y depende exclusivamente del potencial de los puntos 1 y 2 en el campo; se expresa por la fórmula:

V1−V2=E×r

donde:

V₁ - V₂ es la diferencia de potencial

E es la Intensidad de campo en newton/culombio

r es la distancia en metros entre los puntos 1 y 2

Igual que el potencial, en el Sistema Internacional de Unidades la diferencia de potencial se mide en voltios.

Si dos puntos que tienen una diferencia de potencial se unen mediante un conductor, se producirá un flujo de corriente eléctrica. Parte de la carga que crea el punto de mayor potencial se trasladará a través del conductor al punto de menor potencial y, en ausencia de una fuente externa (generador), esta corriente cesará cuando ambos puntos igualen su potencial eléctrico.

Que dos puntos tengan igual potencial eléctrico no significa que tengan igual carga.

Corriente eléctrica

Se produce en cualquier circuito electrico por el movimiento de cargas electricas en los conductores electricos metálicos, el flujo real de cargas se produce del polo negativo al positivo, y el flujo convencional es de positivo a negativo.

Es aquella que fluye en un solo sentido , por ejemplo en las baterias.Tambien es llamada continua.

Es aquella que su polaridad es variante en el tiempo, esta variacion se puede medir en ciclos por segundo o herzt, normalmente se comporta de manera senoidal.

=== Corriente exponencial === es una corriente, la cual se encuentra a exposición al contrario de las demás que están recubiertas de poliestireno que permite, el fácil y sencillo manejo

Intensidad

La intensidad de corriente es la cantidad de carga eléctrica que pasa a través de una sección del conductor por unidad de tiempo, por lo tanto el valor (i) de la intensidad instantánea será:

i=dqdt

Si la intensidad permanece constante (en cuyo caso denotamos I), utilizando incrementos finitos de tiempo, podemos definirla como:

I=ΔqΔt

Si por el contrario la intensidad es variable la fórmula anterior nos dará el valor de la intensidad media en el intervalo de tiempo considerado.

La unidad de intensidad de corriente en el Sistema internacional de unidades es el amperio.

Conductor

Se dice que un cuerpo es conductor cuando puesto en contacto con un cuerpo cargado de electricidad transmite ésta a todos los puntos de su superficie. Elemento generalmente metálico, capaz de conducir la electricidad cuando es sometido a una diferencia de potencial eléctrico. Para que ello sea efectuado eficientemente, se requiere que posea una baja resistencia para evitar pérdidas desmedidas por Efecto Joule y caída de tensión.

El oro es el metal conocido que tiene la mejor conductividad eléctrica; en segundo lugar tenemos la plata. Debido a que estos metales son muy caros, los más utilizados en aplicaciones eléctricas y electrónicas son el cobre y el aluminio.

Resistencia eléctrica

La resistencia eléctrica (R) es la magnitud física que cuantifica la oposición que presenta un material o componente al paso de la corriente eléctrica. Junto con la ley de Ohm, constituye uno de los pilares del análisis de circuitos eléctricos y electrónicos.

Su unidad de medida es el ohmio (Ω), aunque en aplicaciones electrónicas se emplean comúnmente múltiplos como el kiloohmio (kΩ) y el megaohmio (MΩ):

• 1 kΩ=103 Ω
• 1 MΩ=106 Ω

La resistencia se mide con un óhmetro o con un polímetro digital, utilizando su escala específica de ohmios.

La resistencia está relacionada con el comportamiento microscópico de la materia. Cuando los electrones avanzan por un conductor, chocan con átomos e impurezas del material, generando calor y una pérdida de energía útil.

Esto se modela mediante la expresión:

R=ρLA

Donde:

• ρ es la resistividad del material.
• L es la longitud del conductor.
• A es el área de su sección transversal.

• La resistividad es una propiedad intrínseca del material.
• La resistencia depende del material y de su geometría.

Según la Ley de Ohm:

V=I⋅R

Donde:

• V = diferencia de potencial (voltios)
• I = corriente eléctrica (amperios)
• R = resistencia (ohmios)

Esto permite calcular cada una de las variables si se conocen las dos restantes.

En circuitos eléctricos, es habitual sustituir varias resistencias por una sola resistencia equivalente (R_eq).

Se suman directamente:

Req=R1+R2+R3+⋯

Ejemplo práctico: Un conjunto de resistencias de 100 Ω, 220 Ω y 330 Ω en serie tiene:

Req=100+220+330=650 Ω

La fórmula general es:

1Req=1R1+1R2+1R3+⋯

Para dos resistencias:

Req=R1R2R1+R2

En un conjunto de resistencias en paralelo:

La resistencia equivalente siempre es menor que la menor de las resistencias del conjunto.

Resistencias de 1 Ω y 999 Ω en paralelo:

Req=1⋅9991+999=9991000=0.999 Ω

Existen diversos diseños para distintas aplicaciones:

• De carbón
• De película metálica
• De óxido metálico
• De hilo bobinado (alta potencia)

• Lineales
• Logarítmicos
• Trimmers (ajuste fino)

• NTC: coeficiente térmico negativo
• PTC: coeficiente térmico positivo
• LDR: dependientes de la luz
• Thermistores

La mayoría de resistencias comerciales utilizan un código de bandas de colores para indicar su valor.

Resistencias y/o resistores

La resistencia eléctrica es una característica de todo material conductor eléctrico de hacer oposición al paso de la corriente eléctrica, es uno de los componentes mas usados en la electronica.El valor resistivo se mide en ohms y se usa el símbolo Ω para denotar esta característica.

La resistencia varía con la temperatura, pero para simplificacion de los cálculos matemáticos en el diseño y estudio de los circuitos esta característica es omitida

Para diagramas, esquemáticos , planos y cualquier calculo matemático, estos son los símbolos mas utilizados, para representar un resistor o resistencia. Usar uno o otro símbolo depende de la intención del diagrama , como por ejemplo en ocasiones el símbolo con forma rectangular denota una resistencia de alta potencia y la otra una de baja potencia, todo esto de pende del diseñador

Cuando el circuito diseñado se requiere ser llevado a la realidad , se usa un dispositivo resistivo que pose características resistivas, comercialmente se encuentra una buena gama de valores y formas y potencias , que permiten gran variedad de diseños

La resistencias de potencia pequeña, empleadas en circuitos electrónicos, van rotuladas con un código de franjas de colores. Para caracterizar una resistencia hacen falta tres valores: resistencia eléctrica, disipación máxima y precisión.

Los otros datos se indican con un conjunto de rayas de colores sobre el cuerpo del elemento. Son tres, cuatro o cinco rayas; dejando la raya de tolerancia (normalmente plateada o dorada) a la derecha, se leen de izquierda a derecha. La última raya indica la tolerancia (precisión). De las restantes, la última es el multiplicador y las otras las cifras.

El valor se obtiene leyendo las cifras como un número de una, dos o tres cifras; se multiplica por el multiplicador y se obtiene el resultado en Ohmios (Ω). El coeficiente de temperatura únicamente se aplica en resistencias de alta precisión (<1%).

Ejemplo: La caracterización de una resistencia de 470.000 Ω (470 k Ω), con una tolerancia del 10%, sería la representada en la figura siguiente:

1°cifra: amarillo (4)

2°cifra: violeta (7)

Multiplicador: amarillo(10000)

Tolerancia: Plateado (+/-10%)

Fuentes de tensión ideales

Una fuente de tensón ideal es aquella que mantiene una diferencia de potencial constante entre sus bornes sin importar factores externos como corriente circulante, temperatura, etc.

Este tipo de fuentes solo es apicado en calculos matematicos, ya que por su naturaleza ideal no se puede aplicar en la realidad

Fuentes de corriente ideales

La fuente ideal de corriente es la que cuyo valor entre terminales es independiente del voltaje entre ellos.

Bandas de energía

Como ya se presentó, los electrones se ubican alrededor de un núcleo formado por protones y neutrones que concentran la mayoría de la masa atómica. Pues bien, cabe preguntarse: ¿Por qué los electrones no son atraídos hacia el núcleo, ya que son de cargas opuestas, colapsando así el átomo? Éste y otros cuestionamientos se hicieron en torno al modelo de electrones orbitando alrededor del núcleo. No fue hasta principios de 1900 que se pudo introducir un nuevo modelo mas exacto. Niels Bohr postuló, acertadamente, que los electrones no pueden ocupar libremente todas las distancias posibles alrededor del núcleo ni, por consiguiente, cualquier estado de energía; sino que éstos están cuantificados: solamente están permitidos determinados niveles energéticos.

Es imposible conocer con certeza el movimiento de cada uno de los millones de electrones que hay en un conductor, por eso se los trata estadísticamente, tomando sólo el promedio de alguna propiedad a analizar, etc.

Conjunto de niveles energéticos que pueden estar o no ocupados por un electrón de un átomo o átomos.

Conceptos básicos: unidades

El amperio o ampere es la unidad de intensidad de corriente eléctrica. Forma parte de las unidades básicas en el Sistema Internacional de Unidades. Equivale a una intensidad de corriente tal que, al circular por dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y separados entre sí, en el vacío, una distancia de un metro, produce una fuerza entre los conductores de 2 x 10^-7 newtons por cada metro de conductor. Se representa con el símbolo A.

Fue nombrado en honor de André-Marie Ampère.

El voltio se define como la diferencia de potencial a lo largo de un conductor cuando una corriente de un amperio utiliza un vatio de potencia.

El voltio también puede ser definido como la diferencia de potencial existente entre dos puntos tales que hay que realizar un trabajo de 1 joule para trasladar del uno al otro la carga de 1 culombio.

El culombio, símbolo C, es la Unidad derivada del SI para la medida de la magnitud física cantidad de electricidad (carga eléctrica).

Se define como la cantidad de electricidad transportada en un segundo por una corriente de un amperio de intensidad.Es alrededor de 6.24×10¹⁸ veces la carga de un electrón. Nombrada en honor de Charles-Augustin de Coulomb (1736 - 1806).

El ohmio es la unidad de resistencia eléctrica en el Sistema Internacional de Unidades

Un ohmio es el valor de la resistencia que presenta un conductor al paso de una corriente eléctrica de un Amperio, cuando la diferencia de potencial entre sus extremos es de un voltio.

Se representa con la letra griega Ω (Omega). Su nombre se deriva del apellido del físico alemán Georg Simon Ohm autor de la Ley de Ohm.

Los criterios que recomiendan desde el Sistema Internacional (SI) son los siguientes:

• Las unidades no son abreviaturas de palabras (por ejemplo no se debe usar sec para refererise a segundos sino s).
• Los nombre de las unidades se escriben en minúscula (segundo en vez de Segundo).
• Los símbolos de las unidades comienzan por:
  • Mayúsculas si provienen de nombres propios (por ejemplo Hz que provienen de Heinrich Rudolf Hertz).
  • Minúsculas en caso contrario (por ejemplo s).

En ingeniería no se utiliza la notación científica normal, sino que se usan multiplos de 10³, que se sustituyen por prefijos en las unidades.

Conceptos básicos: tensión, corriente y potencia

La 'tensión' de un punto A con respecto a otro punto B (también llamada diferencia de potencial) es el trabajo que hay que realizar sobre una carga positiva situada en el punto B para desplazarla hasta el punto A. Este trabajo es independiente del camino escogido ya que el campo eléctrico cumple la propiedad conservativa.

W=∫ABF→dr→⇒Wq′=∫ABF→q′dr→⇒VAB=VA−VB=∫ABE→dr→→E→=cteVAB=E⋅dAB

La unidad de la diferencia de potencial es el Voltio V = N·m/C = J/C

Igual que el potencial, en el Sistema Internacional de Unidades la diferencia de potencial se mide en voltios.

Si dos puntos que tienen una diferencia de potencial se unen mediante un conductor, se producirá un flujo de corriente eléctrica. Parte de la carga que crea el punto de mayor potencial se trasladará a través del conductor al punto de menor potencial y, en ausencia de una fuente externa (generador), esta corriente cesará cuando ambos puntos igualen su potencial eléctrico.

La intensidad de corriente es la cantidad de carga eléctrica que pasa a través de una sección del conductor por unidad de tiempo, con lo que el valor de la intensidad instantánea (i) vendrá dado por:

i=dqdt

Si la intensidad permanece constante (en cuyo caso denotamos I), utilizando incrementos finitos de tiempo, se define como:

I=ΔqΔt

Si por el contrario la intensidad es variable la fórmula anterior nos dará el valor de la intensidad media en el intervalo de tiempo considerado.

La unidad de intensidad de corriente en el Sistema internacional de unidades es el amperio [A = C/s].

La potencia es la energía por unidad de tiempo, siendo en el caso eléctrico, el resultado de multiplicar la tensión (V) por la corriente (I):

P=V⋅I

La unidad de potencia en el Sistema internacional de unidades es el vatio [W = J/s].

La potencia siempre es positiva, y en corriente alterna viene dada por el producto de la corriente por el voltaje y por el coseno del ángulo de desfase entre la corriente y el voltaje.

Es un elemento de circuito que mantiene entre sus terminales una tensión determinada con independencia de la corriente que la atraviesa.

{Falta símbolo y gráficas I/V}

  Se dice que una fuente de tensión es continua cuando no presenta cambios de signo, y alterna cuando si que los presenta.

Una fuente continua no constante puede presentarse como la suma de una fuente continua constante y una fuente alterna

La gráfica característica V/I de una fuente de tensión es la siguiente:

Para una fuente de tensión no constante la gráfica V/I es una franja vertical cuyos valores están comprendidos en el "radio de acción" de la fuente.

Es un elemento de circuito que mantiene una determinada intensidad de corriente con independencia de la tensión que se halle entre sus terminales.

En fuentes de corriente también podemos distinguir entre continuas y alternas.

La gráfica V/I para una fuente independiente de corriente es:

Una señal es una tensión o corr variable en el tiempo que contienen algún tipo de información.

Seguidamente se presentan algunas de las señales de más utilidad y algunas de sus variables más importantes.

Existen diferentes formas de expresar la amplitud de una señal:

• Vp valor de pico
• Vpp valor de pico a pico
• Vm valor medio
• Vef (Vrms) Valor eficaz

Vm=V¯=∑i=1nvin=1τ∫0τv(t)dt

donde T es :

• τ = n periodos (si la señal es periódica)
• τ es un tiempo suficientemente grande (si la señal no es periódica)

(En este caso el valor medio de la señal es 0)

El valor eficaz expresa la energía que disiparía la señal sobre una resistencia. Expresa una señal continua que disipa la misma energía que la señal sobre una resistencia.

vef=1τ∫0τv2(t)dt

• {GRAFICA}

Ejemplo:
 v(t)=Asin⁡ωt
 vp=A
 vpp=2A
 vm=0
 vef=1τ∫0τA2sin2ωtdt=A2τ∫0τsin2ωtdt=A2τ∫0τ12dt−A2τ∫0τcos⁡2ωt2dt=A2τ12τ=A2

La señal escalón cumple que: u(t){u(t)=0,t<0u(t)=1,t≥0

• {GRAFICA}

Se puede modificar esta señal para que tenga la amplitud (A) que deseemos y hacer que no empiece en t=0 sino en t=to: A⋅u(t−t0)

• {GRAFICA}

Restando dos de estas señales obtenemos lo que se llama una señal pulso. p(t)=A⋅u(t−t0)−A⋅u(t−t1)

• {GRAFICA}

Sumando varios pulsos iguales desplazados de forma regular en el tiempo obtenemos un tren de pulsos.

• {GRAFICA}

En donde:

• d es la duración del pulso
• T es el periodo de repetición de la señal
• d/T es el ciclo de trabajo del pulso.
• vm=AdT
• vef=AdT

La señal rampa también se crea a partir de la señal escalón: r(t)=Au(t)t

• {GRAFICA}

Combinaciones de rampas y escalones pueden dar como resultado señales triangulares y de diente de sierra.

• {GRAFICA}
• vm=0
• vef=A3

• {GRAFICA}
• vm=A2
• vef=A3

Es una señal que decrece en el tiempo (podría ser la señal de descarga de un condensador) Ae−tτu(t) donde τ es una constante temporal.

• {GRAFICA}

t=0At=τ0.37At=2τ0.13At=3τ0.05A(5%)t=4τ0.02A(2%)t=5τ0.007A(<1%)

Según la precisión que necesitemos podemos dar por finalizada la señal en t=3τ, t=4τ, t=5τ, ... Puesto que para estos valores la señal se hace casi imperceptible.

Es una señal del tipo: Asin⁡(ωt+ϕ)u(t) (se podría poner en el lugar del seno un coseno, pero se debería camibar φ por φ+π/2).

• {GRAFICA}

• T es el periodo
• ω es la frecuencia angular o pulsación
• f es la frecuencia
• φ es el ángulo de fase

La relación que une a estas características es: T=2πω=1f

Cualquier señal periódica se puede expresar como la suma de señales sinusoidales.

La señal sinusoidal rectificada a media onda

• {GRAFICA}
• vm=Aπ
• vef=A2

La señal sinusoidal rectificada a onda completa

• {GRAFICA}
• vm=2Aπ
• vef=A2

Conceptos básicos: resistencia, condensador y bobina

Se dice que un cuerpo es conductor cuando esta puesto en contacto con un cuerpo cargado de electricidad transmite ésta a todos los puntos de su superficie. Elemento generalmente metálico, capaz de conducir la electricidad cuando es sometido a una diferencia de potencial eléctrico. Para que ello sea efectuado eficientemente, se requiere que posea una baja resistencia para evitar pérdidas desmedidas por Efecto Joule y caída de tensión.

El oro es el metal conocido que tiene la mejor conductividad eléctrica; en segundo lugar tenemos la plata. Debido a que estos metales son muy caros, los más utilizados en aplicaciones eléctricas y electrónicas son el cobre y el aluminio.

Antes de comenzar con la explicación cabe destacar la diferencia entre Componentes Activos y Componentes Pasivos, los Componentes Activos son aquellos que subministran la energía necesaria al circuito, es decir, son los encargados de excitar al circuito (las fuentes de corriente y de tensión son componentes activos), mientras que los pasivos son aquellos que necesitan dicha energía para su funcionamiento (las resistencias, los condensadores y las bobinas son componentes pasivos).

La resistencia eléctrica (R) es la oposición que ofrece un cuerpo al paso de la corriente. Es una propiedad de todos los componentes del circuito, y una magnitud esencial en electrónica, puesto que muchos componentes soportan poca corriente. Esta magnitud se mide en Ohmios (Ω), aunque en electrónica se usan más frecuentemente resistores del orden de kiloohmios (kΩ): 1kΩ=1.000Ω. La resistencia de un componente se mide con el óhmetro, multimetro o con el polímetro.

Los conductores son aquellos elementos que conducen la corriente eléctrica con relativa facilidad. Se utilizan para conectar diferentes componentes del circuito.El conductor más utilizado es el cobre. La unidad de conductividad es el siemens (S), que es el inverso de la unidad de resistencia eléctrica, el ohmio (Ω).

La mayoría de los metales son buenos conductores. La resistencia eléctrica de estos viene dada por la siguiente fórmula:

en la que ρ(t) es la resistividad propia de cada material que varía con la temperatura.

Las fórmulas para calcular la resistencia equivalente de un circuito son:

• En serie: Req=R1+R2+R3...

• En paralelo: 1Req=1R1+1R2+1R3...

Así, mientras que la asociación de resistencias en serie conduce a una resistencia mayor, la asociación de resistencias en paralelo conduce a una resistencia equivalente que siempre es menor que la menor de las resistencias.

Comprobación: si tenemos una resistencia de 1 Ω y otra de 999 Ω, ¿cuál será la resistencia equivalente?

Req=1⋅9991+999=9991000=0,999Ω

La ley de Ohm, establece que la intensidad de la corriente eléctrica que circula por un dispositivo es directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada e inversamente proporcional a la resistencia del mismo, según expresa la fórmula siguiente:

I=VR

En donde, empleando unidades del Sistema internacional:

I = Intensidad en amperios (A)
V = Diferencia de potencial en voltios (V)
R = Resistencia en ohmios (Se representa con la letra griega Ω-omega-).

En la figura 1 se representa la tensión (V) frente a la intensidad (I) utilizando la expresión V = I · R (Ley de Ohm) siendo la resistencia (R) constante, se observa que la tensión es directamente proporcional al valor de la intensidad, y que la pendiente de la recta viene dada por el valor de la resistencia.

En hidráulica se verifica una ley similar a la Ley de Ohm, que puede facilitar su comprensión. Si tenemos un fluido dentro de un tubo, la diferencia de presiones entre sus extremos equivale a la diferencia de potencial o tensión, el caudal a través del conducto, equivale a la intensidad de la corriente eléctrica y la suma de obstáculos que impiden la corriente del fluido, equivale a la resistencia eléctrica.

Aquellos dispositivos cuya resistencia eléctrica solo depende de la naturaleza del propio material y de la temperatura, con independencia de la tensión o tipo de corriente eléctrica aplicadas (continua o alterna), se denominan óhmicos o ideales.

Si la corriente no es continua, sino alterna la ley de Ohm se formula:

V=I⋅Z

siendo V la tensión, I la intensidad y Z la impedancia, todas ellas magnitudes complejas.

Un elemento resistivo es aquel cuya potencia disipada es mayor que cero, es decir, que la característica V-I esta definida entre el primer y tercer cuadrante. Una resistencia ideal es un elemento resistivo cuya característica V-I es una recta, es decir la característica V-I es lineal.

La característica V-I de una resistencia ideal corresponde a la siguiente fórmula:

I=G⋅V

donde G es una constante: la coductancia que indica la facilidad de paso de la corriente por la resistencia, su unidad es el siemens (Ω−1). Se define R = 1 / G </math> como la resistencia al paso de corriente, por lo que la fórmula anterior pasa a ser:

V=I⋅R

que es una forma más conocida de la [w:es:Ley de Ohm | Ley de Ohm]

Las unidades de R son ohmios (Ω), en donde 1Ω = 1A / 1V

En las fórmulas anteriores suponemos por convenio que la corriente entra por el polo positivo

A partir de la Ley de Ohm podemos definir la poténcia que se disipa en una resistencia será:

PR=i⋅v=i2⋅R=v2R

y la potencia media:

PR¯=1T∫0Tp(t)dt=1T∫0T(v(t))2Rdt=1R1T∫0T(v(t))2dt=vef2R

Las resistencias de un circuito no son ideales, sin embargo se suele usar esa aproximación para simplificar los cálculos, sin embargo se tienen que tener en cuenta otros parámetros para poder realizar esa simplificación:

• Valor de la resistencia: Es el valor teórico de la resistencia.
• Tolerancia: Desviación máxima sobre el valor teórico, se suele dar en %.
• Potencia: Poténcia máxima que puede dispar la resistencia sin dañarse.
• V máx: Tensión máxima que soporta la resistencia sin dañarse. A veces este parámetro se da en tensión de pico y tensión media que soporta.
• Coeficiente de Temperatura: Desviación del valor real de la resistencia con la temperatura, se suele dar en % o en ppm (partes por millón).
• Temperatura máxima de la superficie: Temperatura máxima que puede soportar la resistencia (en la superficie) sin dañarse (a la temperatura ambiente se le debe sumar el incremento de la temperatura debido a la disipación de potencia de la resistencia).

Archivo:Tabla de Parametros de Resistencias.PNG

El condensador (C) es un componente capaz de almacenar una carga eléctrica (o energía) mediante un proceso de carga del condensador, este componente esta formado por dos láminas conductoras paralelas entre sí, con una superficie A, separadas por un material aislante o dieléctrico a una distancia d entre ambas placas.

La magnitud que caracteriza al condensador es la capacitancia (C):

C=Q△V

su unidad son los Faradios (F). Siendo Q la carga eléctrica almacenada y △V la diferencia de potencial a la que está sometido.

Otra forma expresión para obtener la capacitancia del condensador (de placas paralelas):

C=Aεd

siendo A el área de las placas, ε la permitividad eléctrica del medio dieléctrico o aislante entre las placas y d la distancia entre estas.

A partir de las ecuaciones ya conocidas:

i(t)=Cdqdt (1)

Q=C△V

Sustítuimos Q en la ecuación (1) y obtenemos:

i(t)=CdvAB(t)dt

Esta ecuación tiene gran importancia a la hora del análisis de circuitos puesto que da el valor de la intensidad i(t) que atraviesa el condensador y que está sometido a una diferencia de potencial vAB(t). Una observación de gran importancia es que tanto el término de la intensidad como el de la tensión están expresados como funciones que dependen del tiempo, por lo tanto, si la tensión fuera una función constante e invariable en el tiempo la derivada de ésta respecto del tiempo sería cero y por lo tanto de aquí se deduce que en corriente continua el condensador se comporta como circuito abierto.

Por otro lado, si despejamos el término vAB(t) en la expresión resolviendo la ecuación diferencial, queda de la forma:

vAB(t)=vAB(t0)+1C∫t0ti(t)dt

Nótese la aparición de integrales y derivadas de variables en estas dos últimas expresiones, este es el fundamento del Circuito Integrador y del Circuito Derivador que se estudiarán más adelante junto al Amplificador Operacional. Otras aplicaciones en las que el condensador juega un papel fundamental es en los transformadores de corriente alterna a corriente continua, estos están basados en la propiedad de almacenaje de carga, o más informalmente se podría decir que el condensador hace que la diferencia de tensión entre sus terminales sea una función continua y que varía sin cambios bruscos, y de estas manera como se estudiará más adelante consigue crear una señal casi invariable en el tiempo.

Una bobina (o también conocido como inductor) consiste en un conductor enrollado en torno a un núcleo común, la bobina tiene la capacidad de almacenar energía en forma de campo magnético.

Conceptos básicos: leyes de Kirchhoff

Un circuito electrónico es la interconexión de componentes mediante:

• nudos (nodos): que se define como el punto de conexión de dos o más componentes.
• mallas: que se define como un camino cerrado que incluye dos o más nodos.

Dado un circuito (nodos y mallas) las tensiones y las corrientes cumplen las leyes de Kirchhoff.

La suma de todas las corrientes cuales quieran en un nodo es 0A (suponiendo que todas entrasen). Es decir, la suma de las corrientes que entran en un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen. O dicho de otra forma, un nodo no puede acumular carga.

∑j=1nij=0A

 Definiremos el signo de la corriente como positivo si esta entra al nodo y como negativo si sale del mismo.

Presentamos dos métodos de identificación de los nodos:

• Suponiendo que los conductores son deformables.

{GRAFICA}

• Rodeando el nodo (método de los islotes de estaño)

{GRAFICA}

La suma de las tensiones en una malla es 0V (suponiendo que están todas definidas para que caiga tensión).Es decir, la suma de las tensiones que caen es igual a la suma de las tensiones que aumentan. O dicho de otra forma, el campo eléctrico en una malla es conservativo.

∑j=1nvj=0V

Definiremos el signo de la tensión como negativo si existe una caída de tensión
(la corriente va del polo positivo a polo negativo del componente) y como positivo
si existe un aumento de la tensión (la corriente va del polo negativo al polo positivo 
del componente).

Se designa un nodo (arbitrario) como referencia de las tensiones y se le asigna el valor V=0. A este nodo se le denomina masa o potencial de referencia. Los identificadores de suelen poner de la siguiente forma:

* Masa o potencial de referencia: {GRAFICA}
* Conexión a la tierra física: {GRAFICA}

Conceptos básicos: análisis de circuitos

En ingeniería eléctrica y electrónica, un nodo es un punto donde dos o más componentes tienen una conexión común. Corresponde a una unión de alambres hechos de material conductor que poseen una resistencia eléctrica cercana a 0.

Sin algún conocimiento previo, es fácil hallar un nodo usando la ley de Ohm. Cuando miramos el esquema de un circuito, los cables ideales tienen una resistencia de cero (esto no pasa en la vida real, pero es una buena aproximación). Si se asume que no hay cambio de potencial en cualquier parte del cable, todo el cable entre cualquier componente de un circuito es considerado parte del mismo nodo. Así para un circuito cuyos conductores se consideren materiales óhmicos, la ley de Ohm establece que entre dos puntos cualesquiera se tiene que:

V=I⋅R

donde V es la tensión eléctrica (voltaje) entre los puntos, I es la intensidad de corriente de un punto a otro y R la resistencia entre los dos puntos. Cuando la resistencia es 0, reemplazamos:

Vab=I⋅0=0

Así que en cualquiera de los dos puntos del mismo cable, su tensión será 0. Además, el cable tendrá la misma tensión para los elementos conectados al nodo.

En muchos de los casos, la diferencia de potencial entre un punto en una pieza de metal (como el cable de cobre), y la tensión en otro punto de la misma pieza de metal es tan pequeña que muchas veces es considerada insignificante. Así que el metal puede ser considerado como parte del nodo.

• Hayt, William & Kemmerly, Jack (1999). «1» (en español). Análisis de Circuitos en ingeniería (5º edición edición). Mc. Graw Hill. pp. 24. ISBN 970-10-0407-8. https://books.google.com.co/books?id=nGU2AAAACAAJ. Consultado el 23 de mayo de 2010. 

El análisis de mallas (algunas veces llamada como método de corrientes de malla), es una técnica usada para determinar la tensión o la corriente de cualquier elemento de un circuito plano. Un circuito plano es aquel que se puede dibujar en un plano de forma que ninguna rama quede por debajo o por arriba de ninguna otra. Esta técnica está basada en la ley de tensiones de Kirchhoff. La ventaja de usar esta técnica es que crea un sistema de ecuaciones para resolver el circuito, minimizando en algunos casos el proceso para hallar una tensión o una corriente de un circuito.

Para usar esta técnica se procede de la siguiente manera: se asigna a cada una de las mallas del circuito una corriente imaginaria que circula en el sentido que nosotros elijamos; se prefiere asignarle a todas las corrientes de malla el mismo sentido. De cada malla del circuito, se plantea una ecuación que estará en función de la corriente que circula por cada elemento. En un circuito de varias mallas resolveríamos un sistema lineal de ecuaciones para obtener las diferentes corrientes de malla.

La técnica de análisis de mallas funciona asignando arbitrariamente la corriente de una malla en una malla esencial. Una malla esencial es un lazo que no contiene a otro lazo. Cuando miramos un esquema de circuito, las mallas se ven como una ventana. En la figura 1 las mallas esenciales son uno, dos y tres. Una vez halladas las mallas esenciales, las corrientes de malla deben ser especificadas.

Una corriente de malla es una corriente que pasa alrededor de la malla esencial. La corriente de malla podría no tener un significado físico pero es muy usado para crear el sistema de ecuaciones del análisis de mallas. Cuando se asignan corrientes de malla es importante tener todas las corrientes de malla girando en el mismo sentido. Esto ayudará a prevenir errores al escribir las ecuaciones. La convención es tenerlas todas girando en el sentido de las manecillas del reloj. En la figura 2 se muestra el mismo circuito de antes pero con las corrientes de malla marcadas.

La razón para usar corrientes de malla en vez de usar LCK y LVK para resolver un problema es que las corrientes de malla pueden simplificar cualquier corriente planteada con LCK y LVK. El análisis de mallas asegura el menor número de ecuaciones, simplificando así el problema.

Después de nombrar las corrientes de malla, se plantea una ecuación para cada malla, en la cual se suma todas las tensiones de todos los componentes de una malla. Para los elementos que no son fuentes de energía, la tensión será la impedancia del componente por la corriente que circula por él. Cuando un componente se encuentra en una rama que pertenece a dos mallas, su corriente será resultado de la resta de las corrientes de malla a las que pertenezca. Es importante tener esto en cuenta a la hora de expresar la tensión en la rama en función de la intensidad que circula por ella. Por ejemplo, la tensión de la resistencia R₂ en la figura 2 es: VR=R(i3−i1), siendo i3 la corriente de malla de la que estamos escribiendo su ecuación e i1 la malla vecina; considerando positiva la corriente de la malla que estamos describiendo y negativa la corriente de malla vecina. Es importante tener en cuenta los signos.

Si hay una fuente de tensión en la corriente de malla, la tensión en la fuente es sumada o sustraída dependiendo si es una caída o subida de tensión en la dirección de la corriente de malla. Para una fuente de corriente que no esté contenida en dos mallas, la corriente de malla tomará el valor positivo o negativo de la fuente de corriente dependiendo si la corriente de malla está en la misma dirección o en dirección opuesta a la fuente de corriente. A continuación se plantean las ecuaciones del circuito de la figura 3, así:

{Malla 1: i1=isMalla 2: −Vs+R1(i2−i1)+1sc(i2−i3)=0Malla 3: 1sc(i3−i2)+R2(i3−i1)+Lsi3=0

Una vez halladas las ecuaciones, el sistema puede resolverse usando alguna técnica que resuelva sistema de ecuaciones lineales.

Observación: En circuitos resistivos (donde solo haya resistencias), si al resolver el sistema una corriente de malla es negativa significa que esa corriente circula en sentido contrario al que nosotros hemos supuesto. En circuitos de corriente alterna con condensadores, bobinas, será importante el criterio de signos ya que a la hora de restar intensidades, como trabajaremos con números complejos, a través de la fórmula de Euler, tendremos cambios de módulo y de fase en la intensidad resultante, no nos basta con fijar la de mayor módulo como positiva; tenemos que acudir al patrón de corriente positiva en sentido horario (o anti horario, a nuestra elección).

Hay dos casos especiales en la técnica de análisis de mallas: supermallas y fuentes dependientes.

Existe una supermalla cuando una fuente de corriente está entre dos mallas esenciales. Para tratar la supermalla, se trata el circuito como si la fuente de corriente no estuviera allí. Esto produce una ecuación que incorpora las dos corrientes de malla. Una vez que se plantee esta ecuación, se necesita una ecuación que relacione las dos corrientes de malla con la fuente de corriente, esto será una ecuación donde la fuente de corriente sea igual a una de las corrientes de malla menos la otra. A continuación hay un ejemplo de supermalla.

{Malla 1, 2: −Vs+R1i1+R2i2=0Fuente de corriente: is=i2−i1

Una fuente dependiente es una fuente de corriente o de tensión que depende de la tensión o de la corriente de otro elemento en el circuito.

Cuando una fuente dependiente está en una malla esencial, la fuente dependiente debería ser tratada como una fuente normal. Después de que se haya planteado la ecuación de malla, se necesita una ecuación para la fuente dependiente. Esta es una ecuación que relaciona la variable de la fuente dependiente con la corriente o tensión de la fuente de la que depende del circuito. A continuación hay un ejemplo simple de una fuente dependiente.

{Malla 1: −Vs+R1i1+R3(i1−i2)=0Malla 2: R2i2+3ix+R3(i2−i1)=0Variable dependiente: ix=i1−i2

1. ↑ ^{1,0 1,1 1,2 1,3} Nilsson, James W., & Riedel, Susan A. (2002). Introductory Circuits for Electrical and Computer Engineering. New Jersey: Prentice Hall.
2. ↑ ^{2,0 2,1 2,2 2,3} Lueg, Russell E., & Reinhard, Erwin A. (1972). Basic Electronics for Engineers and Scientists (2nd ed.). New York: International Textbook Company.
3. ↑ Puckett, Russell E., & Romanowitz, Harry A. (1976). Introduction to Electronics (2nd ed.). San Francisco: John Wiley and Sons, Inc.

Herramientas necesarias

• Soldador de estaño

Existen varios tipos de soldadores en el mercado, para electrónica es recomendable un soldador de lápiz con punta fina. Consume unos 30W y alcanza temperaturas entre 300ºC y 450ºC. Para coger práctica con el soldador, un buen ejercicio puede ser el construir algunas estructuras geométricas con cable de cobre rígido, como por ejemplo, un triángulo equilátero, un cuadrado, un cubo o una pirámide, todos con arista de unos 5 cm aproximadamente.

• Polimetro tester o multímetro

Es una herramienta básica para cualquier electrónico y electricista, como su nombre indica, se usa para medir diferentes magnitudes eléctricas, y aunque varían según los modelos, las más habituales suelen ser: resistencia(Ω), tensión en corriente continua y en corriente alterna, intensidad en corriente continua y en corriente alterna, continuidad de la corriente, frecuencia, temperatura, capacidad de los condensadores, y polaridad de los transistores.
Los polímetros digitales modernos suelen disponer de una pantalla LCD para transmitir la magnitud, una ruleta central en la que se puede escoger la magnitud que se desea medir y su escala, entradas para la sonda de temperatura, transistores y condensadores, y 3 o 4 entradas donde se conectan las puntas de prueba en el caso de querer medir resistencia, intensidad, tensión y continuidad.
Respecto a las puntas de prueba, el multímetro viene con dos, una negra y otra roja. La negra se conectará siempre a la entrada COM, que hará las veces de referencia en la medición de tensión o de intensidad. La punta de prueba roja se conectará a una de las otros tres entradas. Una de ellas será para medir la tensión, la resistencia y la frecuencia, y las otras dos se usarán para medir sólo la intensidad dependiendo de la escala. Se debe tener en cuenta que la resistencia ha de medirse sin que el componente esté unido a tensión, la tensión entre dos puntos siempre se medirá en paralelo, y la intensidad se medirá abriendo el circuito por el punto en el que se desee medir y poniendo una punta en cada extremo. De no medirse las magnitudes con la ruleta en la escala y magnitud correcta, las puntas de prueba donde deben y de la manera indicada, se corre el riesgo de fundir el fusible interior o en el peor de los casos (muy común entre novatos, sobre todo al medir intensidad) estropear el multímetro de forma irremediable

• Placa de pruebas

Consiste básicamente en una matriz de agujeros con interconexiones internas mediante láminas metálicas. Su función es la de poder probar circuitos antes de construir y soldar un circuito impreso. Los agujeros están separados entre sí, una décima de pulgada, que es la distancia estándar de separación entre patillas que tienen muchos componentes electrónicos como los encapsulados DIP o los TO-220. Algunos modelos, permiten interconectarse a lo ancho y a lo largo, para facilitar la construcción de circuitos mayores.

• Tercera mano

Es una pieza mecánica que normalmente dispone de un par de pinzas, y una lupa. Existen modelos con soporte para el soldador, e incluso con iluminación led, y ventilador. Su función es ayudar a sujetar las piezas a soldar, ya que la persona que ejecute la acción, presumiblemente tendrá el soldador en una mano y el hilo de estaño en la otra.

• Tijeras de electricista

Son tijeras preparadas para cortar hilos de cobre y de aluminio, con un gran aislamiento en el mango, y una muesca en el inicio del filo, para ayudar a pelar cables.

• Fuente de alimentación

• Minitaladro

• estaño

• brocas

• placa de cobre

• condensadores

• resistores

• transistores

• cables

• potenciómetros

• leds

• conectores

• resistencias

Ley de Ohm

La ley de Ohm, establece que la intensidad de la corriente eléctrica que circula por un dispositivo es directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada e inversamente proporcional a la resistencia del mismo, según expresa la fórmula siguiente:

I=VR

En donde, empleando unidades del Sistema internacional:

I = Intensidad en amperios (A)
V = Diferencia de potencial en voltios (V)
R = Resistencia en ohmios (Se representa con la letra griega Ω-omega-).

En hidráulica se verifica una ley similar a la Ley de Ohm, que puede facilitar su comprensión. Si tenemos un fluido dentro de un tubo, la diferencia de presiones entre sus extremos equivale a la diferencia de potencial o tensión, el caudal a través del conducto, equivale a la intensidad de la corriente eléctrica y la suma de obstáculos que impiden la corriente del fluido, equivale a la resistencia eléctrica.

Aquellos dispositivos cuya resistencia eléctrica solo depende de la naturaleza del propio material y de la temperatura, con independencia de la tensión o tipo de corriente eléctrica aplicadas (continua o alterna), se denominan óhmicos o ideales.

Si la corriente no es continua, sino alterna la ley de Ohm se formula:

V=I⋅Z

siendo V la tensión, I la intensidad y Z la impedancia, todas ellas magnitudes complejas.

Electrónica básica

Podríamos decir que una resistencia eléctrica es la dificultad que opone un elemento al paso de corriente por un circuito, es decir, que para una misma diferencia de potencial si queremos aumentar la corriente que pasa por el circuito deberemos disminuir la resistencia, ya que esta se opone a su paso.
Cuando la resistencia tiende a infinito, se considera que el circuito está abierto. Esto es, que no pasa intensidad entre los dos extremos de la resistencia. Por el contrario, si ésta es 0 se considera que se produce un cortocircuito, es decir que la diferencia de potencial entre los dos extremos es nula.

La Ley de Ohm simplificada nos dice que la resistencia es la proporcionalidad existente entre voltaje e intensidad, esto es R=VI
. Por lo tanto si: R=V/I de aquí se deduce que : V=R.I Y I=V/R.

Estas son las fórmulas básicas de la ley de OHM.

A efectos prácticos, para saber el valor de una resistencia real debemos mirar su código de colores de esta forma:

El valor se obtiene leyendo las cifras como un número de una, dos o tres cifras y, después, se multiplica por el multiplicador y se obtiene el resultado en Ohmios (Ω).

Ejemplo: La caracterización de una resistencia de 470.000 Ω (470 k Ω), con una tolerancia del 10%, sería la representada en la figura siguiente: Tolerancia = Plateado ; Multiplicador = Amarillo ; 2°cifra = Violeta ; 1°cifra = Amarillo

Esto es lo necesario, se puede ampliar la información en Resistencia eléctrica

Un potenciómetro no es más que una resistencia en la que podemos variar su valor. De esta manera indirectamente podemos contorlar la intensidad que hay por una línea si lo conectamos en serie o la diferencia de potencial de hacerlo en paralelo.

Los condensadores almacenan energía en forma de campo eléctrico de tal manera que cuando se deja de alimentar devuelve la energía almacenada. Cuando un condensador se encuentra cargado, al no poder incrementar más la carga actua como un circuito abierto.

Gracias a estas propiedades de carga y descarga el condensador se suele utilizar como estabilizador de tensión (es decir suaviza los picos) pues cuando la tensión sube el condensador se carga con lo que la disminuye algo, y cuando la tensión baja se descarga con lo que la tensión sube un poco.

También se puede utilizar para conseguir tensiones altas a partir de tensiones bajas.

En la mayoría de condensadores su valor viene expresado en el propio componente.

Las inductancias almacenan energía en forma de campo magnético creando una corriente al variar la intensidad que pasa por ella, creando un campo que se opone a dicho cambio. Por esto las inductancias son estabilizadoras de corriente.

La placa de prototipos es allí donde se montan los componentes. Una placa de prototipos tiene conjuntos de puntos comunes, por decirlo de algún modo. Normalmente toda una fila vertical que esté en los lados de la placa es un mismo punto, los laterales son los puntos con más tomas, por eso se suelen utilizar como tierra o como tensión de alimentación.

Puertas lógicas

Las compuertas o puertas lógicas son la base de la electrónica digital. Se basan en el Álgebra de Bool, materializando estos operandos en componentes electrónicos, los cuales se utilizan para el diseño de circuitos digitales. Por lo general, se presentan físicamente a manera de circuitos integrados, conteniendo este último varias compuertas en su interior.

Todos estos componentes funcionan de manera binaria, es decir, activado o desactivado, alto y bajo, 1 o 0. Estos ceros y unos se representan mediante tensiones eléctricas, las cuales varían según la tecnología con la cual se hayan construido estos componentes. A continuación se muestran los valores típicos para las compuertas construidas con tecnología TTL (los cuales se alimentan con 5V):

• Estado alto (1): de 2V a 5V
• Estado bajo (0): de 0V a 0.8V
• Estado indefinido: de 0.9V a 1.9V

En electrónica digital, ningún componente debe de permanecer en estado indefinido, ya que su salida sería aleatoria o inestable.

Las tablas de verdad, también llamadas tablas de certeza, se utilizan para representar el comportamiento de determinado circuito o compuerta digital. Están compuestas por una tabla con todos los posibles estados que pueden alcanzar las entradas del circuito, y sus correspondientes salidas. Para representar los estados de las entradas y salidas, se utiliza un 1 (alto) o un 0 (bajo). Para representar las entradas se suele utilizar una columna por cada una, representada por una letra del abecedario. Para representar las salidas se utiliza igualmente una columna, pero identificándolas por las entradas que procesa y la operación lógica que se realiza con ellas (Ej. A+B), u otras letras del abecedario que no se estén utilizando para las entradas (pero señalándolas de alguna manera para diferenciarlas de las entradas, por ejemplo utilizando otro color).

Números complejos

Los Números Complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que ℝ⊂ℂ. Los números complejos tienen la capacidad de representar todas las raíces de los polinomios, cosa que con los reales no era posible.

Esto se consigue gracias a que los complejos hacen uso de una unidad imaginaria llamada número i, que verifica la propiedad:

i2=−1

Esta unidad imaginaria es de hecho la que permite definir las operaciones con esos números, puesto que para efectuarlas hay que tener presente que cada lado de esa unidad imaginaria debe trabajarse en forma independiente, no confundiendo ambas partes. Una unidad imaginaria nunca se junta con una unidad real.

Desde un punto de vista geométrico la recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista como un subconjunto del plano de los números complejos.

Cada número complejo sería un punto en ese plano. Usando las definiciones que siguen, se hacen posibles la suma, la resta, la multiplicación y la división entre estos puntos.

Definiremos cada complejo como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), que verifican las siguientes propiedades:

• (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
• (a, b) · (c, d) = (ac - bd, bc + ad).

Tal como los hemos definido, los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

|z|=Re(z)2+Im(z)2

Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano.

Si el complejo está escrito en forma polar z = r e^iφ, entonces |z| = r.

Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto

|z|=0⟺z=0

|z+w|≤|z|+|w|

|zw|=|z||w|

para cualquier complejo z y w.

Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

El conjugado de un complejo z (denotado como z¯ ó z∗) es un nuevo número complejo, definido así:

z¯=a−ib⟺z=a+ib

Con este número se cumplen las propiedades:

z+w‾=z¯+w¯

z‾+z=2∗Re(z)

z‾−z=2∗Im(z)

zw‾=z¯w¯

z∈ℝ⟺z¯=z

|z|2=zz¯

z≠0⟹1z=z¯|z|2

Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.

Algunas veces, la representación de números complejos en la forma z = a + i b ("coordenadas rectangulares") es menos conveniente que otra representación, usando coordenadas polares.

Representamos el número complejo z en el plano de números complejos como un punto con coordenadas (a, b).

Trazamos la distancia desde el punto (0,0) hasta (a, b), a la que llamaremos r, y, que como se ha visto antes, es igual al módulo de z, expresado |z|.

Esta distancia forma, con respecto al eje real positivo, un ángulo, denominado ϕ.

Gráfico de un complejo en el plano, con ángulo y distancia

La representación polar nos permite expresar este número complejo en función de r y del ángulo ϕ:

z=reiϕ⇒z=rei(ϕ+2πk)

Veamos cómo obtenemos esa expresión:

Formamos un triángulo rectángulo, con r como hipotenusa, y con catetos a y b. Vemos que:

sin⁡ϕ=br

cos⁡ϕ=ar

Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:

z=a+ib⟹z=rcos⁡ϕ+irsin⁡ϕ

Sacamos factor común r:

z=r(cos⁡ϕ+isin⁡ϕ)

Según la Fórmula de Euler, vemos que:

cos⁡ϕ+isin⁡ϕ=eiϕ⟺z=reiϕ

No obstante, el ángulo ϕ no está unívocamente determinado por z, como implica la fórmula de Euler:

∀k∈ℤz=ei(ϕ+2πk)

Por esto, generalmente restringimos ϕ al intervalo (-π, π] y a éste ϕ restringido lo llamamos argumento principal de z y escribimos φ = arg(z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.

La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:

z1z2=rsei(ϕ+ψ)⇔z1z2=reiϕseiψ

División:

z1z2=rsei(ϕ−ψ)

Potenciación:

zn=rneiϕn⇔zn=(reiϕ)n

Geométricamente, las operaciones algebraicas con complejos las podemos entender como sigue. Para sumar dos complejos z₁ =a₁ + ib₁ y z₂ = a₂ + ib₂, podemos pensar en ello como la suma de dos vectores del plano x-y apuntando desde el origen al punto (a₁, b₁) y (a₂,b₂), respectivamente. Si trasladamos (movemos) el segundo vector, sin cambiar su dirección, con lo que su punto de aplicación coincide con el punto final del primer vector; el segundo vector así ubicado apuntará al complejo z₁ + z₂.

Siguiendo con esta idea, para multiplicar dos complejos z₁ y z₂, primero medimos el ángulo que forman en sentido contrario a las agujas del reloj con el eje positivo de las x y sumamos ambos ángulos: el ángulo resultante corresponde con el del vector que representa al complejo producto z₁ · z₂. La longitud de este vector producto viene dada por la multiplicación de las longitudes de los vectores originales. La multiplicación por un número complejo fijo puede ser vista como la una transformación del vector que rota y cambia su tamaño simultáneamente.

Multiplicar cualquier complejo por i corresponde con una rotación de 90º en dirección contraria a las agujas del reloj. Asimismo el que (-1) · (-1) = +1 puede ser entendido geométricamente como la combinación de dos rotaciones de 180º.

Una raíz del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todos los polinomios de grado n tienen exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.

Al estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Análisis complejo. Tiene una gran cantidad de usos como herramienta de Matemática aplicada|matemáticas aplicadas así como en otras ramas de las matemáticas. El análisis complejo provee algunas importantes herramientas para la demostración de teoremas incluso en teoría de números; mientras que las funciones reales. de variable real, necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones de variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difíciles de representar. Se suelen utilizar ilustraciones coloreadas en un espacio de tres dimensiones para sugerir la cuarta coordenada o animaciones en 3D para representar las cinco dimensiones

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables (ver Análisis de Fourier). En una expresión del tipo z = r e^iφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma

                               f(t)=zeiwt

donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.

Otras representaciones, no tan frecuentes, de los números complejos pueden darnos otra perspectiva de su naturaleza. Una especialmente elegante interpreta cada complejo como una matriz 2x2 con números reales como entradas que estiran y rotan los puntos del plano. Cada una de estas matrices tiene la forma

(a−bba)

con números reales a y b. La suma y el producto de dos matrices queda de nuevo de esta forma. Cualquier matriz no nula es invertible, y su inverso es de nuevo de esta forma. Por consiguiente, las matrices de esta forma son un cuerpo. En efecto, este es exactamente el cuerpo de los complejos. Cualquier matriz puede ser escrita:

(a−bba)=a⋅(1001)+b⋅(0−110)

Lo cual sugiere que se puede identificar la unidad con la matriz

(1001)

y la unidad imaginaria

(0−110)

Id est, una rotación de 90 grados. ¡Nos damos cuenta de que el cuadrado de esta matriz es ciertamente igual a -1!

El valor absoluto de un complejo expresado como una matriz es igual a la raíz cuadrada del determinante de la matriz. Si vemos la matriz como una transformación del plano, entonces la transformación rota puntos con un ángulo igual al argumento del complejo y escala multiplicando por un factor igual al valor absoluto del complejo. El complejo conjugado de z es la transformación con la misma rotación dispuesta por z pero en sentido inverso, y escala de la misma manera que z; esto puede ser descrito por la traspuesta de la matriz correspondiente a z.

Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace de una función matemática f(t) definida para todos los números reales t ≥ 0 es la función F(s), definida por:

F(s)=ℒ{f(t)}=∫0−∞e−stf(t)dt.

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

FB(s)={ℒf}(s)=∫−∞∞e−stf(t)dt.

La transformada de Laplace F(s) tipicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

Gracias a la transformada de Laplace se pueden resolver muchos circuitos (siempre que sean "Laplace-transformables"), los cuales son muy difíciles de resolver en el dominio del tiempo. Un ejemplo de esto son los circuitos con múltiples inductancias y condensadores, ya que por cada uno de estos componentes que se agregue, la ecuación resultante es una ecuación diferencial de mayor orden. Al transformar este tipo de circuitos al dominio de Laplace las ecuaciones se simplifican considerablemente y es posible resolverlas en ese dominio, para después llevarlas al dominio del tiempo resueltas.

PROPIEDAD DE LINEALIDAD Para hablar de transformación lineal, deben establecerse previamente los espacios vectoriales. · A es evidentemente un espacio vectorial real con las definiciones usuales de suma de funciones y producto por escalar. · Sea el conjunto de funciones reales definidas en intervalos (so, ") ó [so, "). También es espacio vectorial real, si dadas dos funciones F, G se define F+G en la forma usual, en la intersección de los dominios de F y G. Se considerarán además como iguales dos funciones en si coinciden en un intervalo de la forma (a, "). · Entonces es aplicación del espacio vectorial A en él. Teorema Si c1 y c2 son constantes y F1(t) y F2(t) son funciones cuyas transformadas de Laplace son, respectivamente, f1(s) y f2(s), entonces:

L {c1F1(t) + c2F2(t)}

                     = c1L{F1(t)} + c2L{F2(t)} 
                     = c1f1(s) c2f2(s)

Ejemplo1.

L{4t2 - 3 cos2t + 5e-t}

                        = 4L(t2} - 3L{cos2t} + 5L{e-t}
                        = 4 * 2! - 3 * s + 5 * 1s3 s2 + 4 s + 1
                        = 8 - 3s + 5s3 s2 + 4 s + 1

Ejemplo 2.

L{4e5t + 6t3 - 3sen4t + 2cos2t}

        = 4L{e5t } + 6L{t3 } - 3L{sen4t} + 2L{cos2t}
        = 4 * 1 + 6 * 3! - 3 * 4 + 2 * 2s - 5 s3 s2 + 16 s2 + 4
        = 4 + 36 - 12 + 4s - 5 s3 s2 + 16 s2 + 4
        donde s > 5.

ℒ{tn}=n!sn+1

NT: en la demostración aparece la función Gamma, tener presente esto :)

ℒ{eat}=1s−a

ℒ{sen(bt)}=bs2+b2

ℒ{cos⁡(bt)}=ss2+b2

ℒ{senh(bt)}=bs2−b2

ℒ{cosh⁡(bt)}=ss2−b2

f(t)=cosh(t)/e

ℒ{ln⁡(t)}=−ln⁡(s)+γs

ℒ{tn}=s−n+1n⋅Γ(1+1t)

ℒ{Jn(t)}=(s+1+s2)−n1+s2

ℒ{In(t)}=(s+−1+s2)−n−1+s2

ℒ{erf⁡(t)}=es2/4erfc⁡(s/2)s

ℒ{f′}=sℒ{f}−f(0)

ℒ{f″}=s2ℒ{f}−sf(0)−f′(0)

ℒ{f(n)}=snℒ{f}−sn−1f(0)−⋯−f(n−1)(0)

ℒ{tf(t)}=−F′(s)

ℒ{f(t)t}=∫s∞F(σ)dσ

NT: en la demostración recordar que e−st debe crecer más rápidamente que la función, y así calcular su límite lim⁡(f(t)/e−st,t=0..∞)(el cual seria cero, sino no habria como calcular) es por esto que funciones del tipo ℒ{f(et2)) (que crece mas rápido que e−stpueden ser obtenidas por Laplace

ℒ{∫0tf(τ)dτ}=1sℒ{f}

ℒ{eatf(t)}=F(s−a)

ℒ{f(t−a)u(t−a)}=e−asF(s)

ℒ−1{e−asF(s)}=f(t−a)u(t−a)

Nota: u(t) es la función escalón.

ℒ{tnf(t)}=(−1)nDsn[F(s)]

ℒ{f∗g}=ℒ{f}ℒ{g}

ℒ{f}=11−e−ps∫0pe−stf(t)dt

Sean:

V(s)=ℒ{v(t)}

I(s)=ℒ{i(t)}

∑i=1nvi(t)=0 ⇔ ∑i=1nVi(s)=0

∑k=1mik(t)=0 ⇔ ∑k=1mIk(s)=0

v(t)=R⋅i(t) ⇔ V(s)=R⋅I(s)

v(t)=L⋅di(t)dt ⇔ V(s)=s⋅L⋅I(s)−L⋅i(0−)

i(t)=C⋅dv(t)dt ⇔ I(s)=s⋅C⋅V(s)−C⋅v(0−)

Las impedancias en el dominio de Laplace son similares a las que se obtienen trabajando con fasores.

En R:

Z(s)=R

En C:

Z(s)= 1s⋅C

En L:

Z(s)=s⋅L

Transformada de Fourier

Dada una función matemática f(x) en el "dominio del tiempo", se denomina transformada de Fourier de f a la función f̂ definida por

f̂(ξ)=∫−∞∞f(x)e−2πixξdx,

la cual está definida para una función integrable f tal que

∫−∞∞|f(x)|dx<∞.

Ésta se utiliza para pasar al "dominio de la frecuencia" para obtener información que no es evidente en el dominio del tiempo.

La transformada f̂ es una función continua y acotada. Si f̂ también satisface ∫−∞∞|f̂(ξ)|dξ<∞, la transformada inversa de Fourier está dada por:

f(x)=∫−∞∞f̂(ξ)e2πiξxdξ.

Debido a las propiedades

dfdx^(ξ)=2πiξf̂(ξ) y xf^(ξ)=−12πiddξf̂(ξ),

Transformada Z

La Transformada Z convierte una señal que esté definida en el dominio del tiempo discreto (que es una secuencia de números reales) en una representación en el dominio de la frecuenciacompleja.

La transformada Z, al igual que otras transformaciones integrales, puede ser definida como una transformada unilateral o bilateral.

La TZ bilateral de una señal definida en el dominio del tiempo discreto x[n] es una función X(z) que se define

X(z)=Z{x[n]}=∑n=−∞∞x[n]z−n 

donde n es un entero y z es, en general, un número complejo de la forma

z=Aejω

donde A es el módulo de z, y ω es la frecuencia (o ángulo en radianes).

De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la transformada Z unilateral de define como

X(z)=Z{x[n]}=∑n=0∞x[n]z−n 

Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z⁻¹.

La Transformada Z inversa se define

x[n]=Z−1{(X(z)}=12πj∮CX(z)zn−1dz 

donde C  es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de convergencia (ROC). El contorno, C , debe contener todos los polos de X(z) .

Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando C  es el círculo unidad (que también puede usarse cuando la ROC incluye el círculo unidad), obtenemos la transformada inversa de tiempo discreto de Fourier :

x[n]=12π∫−π+πX(ejω)ejωndω 

La TZ con un rango finito de n y un número finito de z separadas de forma uniforme puede ser procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein. La transformada discreta de Fourier (DFT) es un caso especial de la TZ, y se obtiene limitando z para que coincida con el círculo unidad.

La ROC es una región del plano complejo donde la TZ de una señal tiene una suma finita.

ROC={z:∑n=−∞∞x[n]z−n<∞} 

Sea x[n]=0.5n . Expandiendo x[n]  en (−∞,∞)  obtenemos

x[n]={...,0.5−3,0.5−2,0.5−1,1,0.5,0.52,0.53,...}={...,23,22,2,1,0.5,0.52,0.53,...} 

Siendo la suma

∑n=−∞∞x[n]z−n<∞ 

No hay ningún valor de z  que satisfaga esta condición.

Sea x[n]=0.5nu[n]  (donde u es la función escalón ). Expandiendo x[n]  en (−∞,∞)  obtenemos

x[n]={...,0,0,0,1,0.5,0.52,0.53,...} 

Siendo la suma

∑n=−∞∞x[n]z−n=∑n=0∞0.5nz−n=∑n=0∞(0.5z)n=11−0.5z−1 

La última igualdad se obtiene con la fórmula del sumatorio para series geométricas, y la igualdad sólo se conserva si |0.5z−1|<1 , lo cual puede ser reescrito para definir z  de modo |z|>0.5 . Por lo tanto, la ROC es |z|>0.5 . En este caso la ROC es el plano complejo exterior al círculo de radio 0,5 con origen en el centro.

Sea x[n]=−(0.5)nu[−n−1]  (donde u es la función escalón ). Expandiendo x[n]  entre (−∞,∞)  obtenemos

x[n]={...,−(0.5)−3,−(0.5)−2,−(0.5)−1,0,0,0,...} 

Siendo la suma

∑n=−∞∞x[n]z−n=−∑n=−∞−10.5nz−n=−∑n=−∞−1(z0.5)−n 

=−∑m=1∞(z0.5)m=−0.5−1z1−0.5−1z=zz−0.5=11−0.5z−1 

De nuevo, usando la fórmula de sumatorio para series geométricas, la iguadad sólo se mantiene si |0.5−1z|<1 , de modo que podemos definir z  como |z|<0.5 . Aquí, la ROC es |z|<0.5 , es decir, el interior de un círculo centrado en el origen de radio 0,5.

Los ejemplos 2 y 3 muestran claramente que la transformada X(z)  de x[n]  es única si y sólo si se especifica cual es la ROC. Dibujando los gráficos de polos y ceros para los casos causal y anticausal, comprobaríamos como la ROC de ambos casos no incluye el polo que está en 0,5. Esto se extiende a los casos con múltiples polos: la ROC nunca contiene polos.

En el ejemplo 2, el sistema causal tiene una ROC que incluye |z|=∞ , mientras que al sistema anticausal del ejemplo 3 le pertenece una ROC que incluye |z|=0 .

En los sistemas con múltiples polos, es posible tener una ROC que no incluya ni |z|=∞  ni |z|=0 . La ROC crea una región circular. Por ejemplo, x[n]=0.5nu[n]−0.75nu[−n−1]  tiene dos polos en 0,5 y 0,75. La ROC será 0.5<|z|<0.75 , la cual no incluye ni el origen ni el infinito. Este tipo de sistemas se conoce como sistemas de causalidades mezcladas, ya que contiene un término causal 0.5nu[n]  y otro anticausal −(0.75)nu[−n−1] .

La estabilidad de un sistema se puede determinar simplemente conociendo su ROC. Si esta ROC contiene el círculo unidad (p. ej. |z|=1 ) entonces el sistema es estable. En los sistemas anteriores, el sistema causal es estable porque |z|>0.5  contiene el círculo unidad.

Si tenemos la TZ de un sistema sin su ROC (p.ej., un x[n]  ambiguo) podemos determinar una única señal x[n]  en función de que queramos o no las siguientes propiedades:

• Estabilidad
• Causalidad

Si queremos un sistema estable, la ROC debe contener el círculo unidad. Si queremos un sistema causal, la ROC debe contener al infinito. Si queremos un sistema anticausal, la ROC debe contener al origen.

De este modo, podemos encontrar una señal en el tiempo x[n]  que sea única.

• Linealidad. La TZ de una combinación lineal de dos señales en el tiempo es la combinación lineal de sus transformadas en Z.

Z(a1x1[n]+a2x2[n])=a1Z(x1[n])+a2Z(x2[n]) 

• Desplazamiento temporal. Un desplazamiento de k hacia la derecha en el dominio del tiempo es una multiplicación por z^−k en el dominio de Z.

Z(x[n−k])=z−kZ(x[n]) 

• Convolución. La TZ de la convolución de dos señales en el tiempo es el producto de ambas en el dominio de Z.

Z({x[n]}⨀⋆  {y[n]})=Z({x[n]})Z({y[n]}) 

• Diferenciación.

Z({nx[n]})= −zdZ({x[n]})dz 

La TZ bilateral es simplemente la transformada de Laplace bilateral de la señal muestreada

x(t)∑n=−∞∞δ(t−nT)=∑n=−∞∞x[n]δ(t−nT) 

donde x(t)  es la señal continua muestreada, x[n]=x(nT)  la n-ésima muestra, T  el período de muestreo, y con la sustitución z=esT .

Del mismo modo, la TZ unliateral es simplemente la transformada de Laplace unilateral de la señal ideal muestreada. En ambas se asume que la señal muestreada vale cero para todos los índices negativos en el tiempo.

La TZ es una generalización de la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT). La DFTF puede hallarse evaluando la TZ X(z)  en z=ejω  o, lo que es lo mismo, evaluada en el círculo unidad. Para determinar la respuesta en frecuencia del sistema, la TZ debe ser evaluada en el círculo unidad.

La ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes (LCCD) es una representación de un sistema lineal basada en la ecuación de la media autorregresiva.

∑p=0Ny[n−p]αp=∑q=0Mx[n−q]βq 

Ambos términos de esta ecuación pueden dividirse por α0 , si no es cero, normalizando α0=1  la ecuación LCCD puede ser escrita

y[n]=∑q=0Mx[n−q]βq−∑p=1Ny[n−p]αp 

Esta forma de la ecuación LCCD es más explícita para comprobar que la salida actual y[n]  se define en función de las salidas anteriores y[n−p] , la entrada actual x[n] , y las entradas anteriores x[n−q] .

Se calcula haciendo la TZ de la ecuación

Y(z)∑p=0Nz−pαp=X(z)∑q=0Mz−qβq 

y dividiendo

H(z)=Y(z)X(z)=∑q=0Mz−qβq∑p=0Nz−pαp=β0+z−1β1+z−2β2+...+z−MβMα0+z−1α1+z−2α2+...+z−NαN 

Gracias al teorema fundamental del álgebra sabemos que el numerador tiene M raíces (llamadas ceros) y el denominador tiene N raíces (llamadas polos). Factorizando la función de transferencia

H(z)=(1−q1z−1)(1−q2z−1)...(1−qMz−1)(1−p1z−1)(1−p2z−1)...(1−pNz−1) 

donde qk  es el k-ésimo cero and pk  es el k-ésimo polo. Los ceros y polos son por lo general complejos, y por tanto se pueden dibujar en el plano complejo.

En definitiva, los ceros son las soluciones de la ecuación obtenida de igualar el numerador a cero, mientras que los polos son las de la ecuación que se obtiene al igualar a cero el denominador.

Se puede factorizar el denominador mediante la descomposición en fracciones simples , las cuales pueden ser transformadas de nuevo al dominio del tiempo. Haciendo esto obtenemos la respuesta al impulso y la ecuación diferencial de coeficientes lineales constantes del sistema.

Si por un sistema H(z)  pasa una señal X(z)  entonces la salida será Y(z)=H(z)X(z) . Haciendo una descomposición en fracciones simples de Y(z)  y la TZ inversa de cada una de ellas puede encontrarse la salida y[n] .

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